你是下雨天

接下来四大定理就剩下了两个：开映射定理与闭图像定理。剩下的内容相比于前面两个定理要少很多，也更简单，我们一口气讲完吧！

1. 开映射定理

$(X_1,d_1),(X_2,d_2)$，称 $T:X_1\to X_2$ 为开映射，若 $\forall G\subset X$ 为开集，都有 $T(G)$ 在 $X_2$ 中为开集。

NOTE：我们讲到连续映射的时候证明了一个定理，即 $T$ 为连续映射 $\iff \forall G\subset X_2$ 为开集，那么 $T^{-1}(G)=\{x\in X_1, Tx\in G\}$ 是 $X_1$ 中的开集。注意这与开映射不同，开映射是正向的，连续映射是反向的。

一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。

1. 序列收敛性

$(X,\Vert\cdot\Vert)$，有 $x_n,x\in X$，称 $x_n$ 强收敛到 $x$，若 $\Vert x_n-x\Vert \to 0$；称 $x_n$ 弱收敛到 $x$ 若 $\forall f\in X’$ 都有 $f(x_n)\to f(x)$，记为 $x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x.$

关于弱收敛有以下几条性质：

• 若 $x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x, x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} y$，则 $x=y$；
• 若 $x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x$，则存在 $c\ge0, \Vert x_n\Vert \le c.$

Hahn-Banach定理主要是用于泛函的延拓，在较小的子空间上满足某个性质之后我们就可以将对应的泛函延拓至整个空间。而这一节要讲的一致有界性原理恰如其名，主要讨论一族有界线性算子一致有界的条件。他也是后续讨论序列弱收敛性以及泛函弱星收敛性的基础。

1. Baire范畴定理

一致有界性原理的证明需要用到Baire范畴定理（也叫Baire纲定理）。

$(X,d)$，若 $\bar{M}\subset X$ 没有内点，则称 $M$ 是无处稠密的。若 $N=\cup^\infty_n N_n$，$N_n$ 均为无处稠密的，则称 $N$ 为第一范畴。不为第一范畴的子集称为第二范畴。

1. 共轭算子

赋范空间 $X,Y$，$T\in B(X,Y)$，对于任意的 $f\in Y’$，$X \stackrel{T}{\longrightarrow}Y\stackrel{f}{\longrightarrow}\mathbb{K}$，可以得到 $f\circ T\in X’$。因此我们可以定义映射

称其为共轭算子。他有如下性质（容易验证，不再证明）：

前面三章讲了很多东西，但实际上都只是开胃小菜 >__<，度量空间、赋范空间、内积空间等等都是为了我们接下来要讲的四大定理做铺垫。泛函中的四大定理，即 Hahn-Banach 定理、一致有界性原理、开映射定理和闭图像定理，是整个泛函分析的基石（前面三章的内容是基石的基石）。

我们前面讲了距离空间、赋范空间，距离空间赋予了两个点之间的距离度量，范数赋予了每个点自身的长度度量，而范数则可以导出距离。本章要讲的内积可以看成是更加统一的定义，因为从内积我们可以导出范数，进而导出距离。因此内积空间是一个“更小”的空间，在此基础上结合完备性我们引出了 Hilbert 空间，后续我们的研究也大多集中在 Hilbert 空间上。

1. 内积空间

定义：$X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$\langle \cdot,\cdot\rangle :X\times X\to \mathbb{K}$，若满足如下条件

1. $\langle \lambda x+\mu y, z\rangle = \lambda\langle x,z\rangle +\mu\langle y,z\rangle $
2. $\overline{\langle x,y\rangle }=\langle y,z\rangle $
3. $\forall x\in X, \langle x,x\rangle \ge 0$
4. $\langle x,x\rangle =0 \iff x=0$

则称 $(X,\langle \cdot,\cdot\rangle )$ 为内积空间。可以用内积定义范数 $\Vert x\Vert = \langle x,x\rangle ^{1/2}$。若得到的 $(X,\Vert\cdot\Vert)$ 为 Banach 空间，那么 $(X,\langle \cdot,\cdot\rangle )$ 为 Hilbert 空间。

在度量空间中，我们重点关注的是两个元素之间的距离，而这一部分要引出来的赋范空间中，则对每个元素本身也赋予了“范数”，也就是“长度”。

1. 线性空间

线性空间，可以简单理解为对线性运算封闭的集合。那么线性运算的形式是什么呢？常见的线性运算可以写为 $T(x;a)=\sum_i a_ix_i$，因此可以看出来包含了数乘和加法两种基本运算，因此线性空间必然需要对数乘和加法封闭，除此之外，为了保证运算体系的自洽性，我们还需要规定一些其他的运算规则。最后，给出来线性空间的定义：

这一章节研究度量空间的基本结构，在开始前，我们需要思考几个问题：

1. 什么是度量空间？
2. 我们为什么要首先学习度量空间呢？

在这篇笔记的最后再来回答这个问题。

本系列泛函分析课程笔记的参考教材是清华大学出版社，步尚全老师写的《泛函分析基础》。

笔记的内容基本来自于我的听课记录，以及自己复习过程中的一些想法，由于笔者的数学功底极其不扎实，因此很可能会有不准确甚至错误之处，欢迎大家指正。

1. 虚拟机联网问题

VMWare虚拟机大致有 3 种联网方式，以下三种方式联网自由度逐渐递减：

1. 桥接：虚拟机就相当于局域网中的另一台主机，有独立的 ip 地址；
2. NAT：虚拟机需要借助于主机才能联网，虚拟机也是以物理主机的身份与外界通信；
3. Host-only：虚拟机只能与主机通信，不能联网；

有时候设置好 NAT 或者桥接模式后仍然不能联网，可以尝试输入以下命令

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sudo service network-manager restart

也可以尝试先把虚拟机关机，点击 VMWare 编辑 >> 更改设置 >>还原默认设置 >> 确定，然后虚拟机开机就可以了。

找不到网络连接图标

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sudo service network-manager stop
sudo rm /var/lib/NetworkManager/NetworkManager.state
sudo service network-manager start
# 将文件里面唯一的false改成true
sudo gedit /etc/NetworkManager/NetworkManager.conf
sudo service network-manager restart

2. vi 输入问题

vi 输入模式下方向键会出来 A, B, C, D，而且退格键不好使。

方法 1

可以修改文件 /etc/vim/vimrc.tiny，注释掉原来的 set compatible，改成以下内容

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set nocompatible
set backspace=2

方法 2

在用户个人目录下创建文件 .vimrc，写入以下内容

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set nocompatible     # 以非兼容模式工作  
set backspace=2

方法 3

安装 vim

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sudo apt-get install vim